17을 12로 나눈 나머지는 5다. 이번에는 17을 5로 나누면 2가 남고, 같은 일을 계속하면 12 → 5 → 2 → 1 → 0이 된다. 0에 닿기 전까지 양의 수가 네 개다. 출발점을 바꾸면 단계 수도 바뀐다. 그렇다면 17 대신 더 큰 정수 n을 고정했을 때, 가장 오래 이어지는 사슬의 길이는 얼마나 될까?
이를 P(n)이라고 부른다. 1부터 n까지 가능한 출발점을 모두 생각해서, 양의 항이 가장 많은 사슬의 길이를 택한 값이다. 여기서 찾는 것은 정확한 P(n)을 매번 계산하는 방법이 아니라, 아무리 긴 사슬도 넘지 못할 상한이다. Chase와 Pandey가 제시한 상한의 지수는 19/59(약 0.322)였고, 내가 2026년 9월 21일 공개한 프리프린트는 이를 3/10(0.3)으로 낮추는 논증을 제시한다.
정확한 주장은 임의의 ε>0에 대해 P(n)=Oε(n^(3/10+ε))라는 것이다. 즉 각 ε마다 상수 Cε가 존재해 모든 n≥2에 P(n) ≤ Cε n^(3/10+ε)가 성립한다. P(n)이 모든 출발점 중 최댓값이므로 상수는 출발점에도 의존하지 않는다. 이 식은 보통 사슬이 얼마나 긴지, 또는 실제로 n^(3/10)만큼 긴 사슬이 있는지를 말하지 않는다. ε 없이 O(n^(3/10))이라고 주장하는 것도 아니다.
가장 까다로운 크기부터 좁히기
사슬은 계속 감소하므로 비슷한 크기의 수를 지나는 부분끼리 모아 셀 수 있다. 한 묶음은 (A, 2A], 즉 A보다 크고 2A 이하인 나머지들이다. 아주 작은 나머지의 묶음과 큰 나머지의 묶음은 각각 다른 방식으로 길이를 제한할 수 있다. 따라서 새 논증이 집중하는 곳은 n^(3/5) ≤ A ≤ n^(7/10)인 가운데 크기의 묶음이다. 여기서도 사슬이 오래 머무를 수 있는지를 알아야 전체 길이의 상한을 낮출 수 있다.
먼저 크기 묶음과 관계없이 연속된 양의 나머지 네 개를 x>y>z>w라고 하자. 처음의 12 → 5 → 2 → 1도 네 항의 예다. 떨어진 양은 차례로 h=x−y, h′=y−z, h″=z−w이며, 17의 예에서는 7, 3, 1이다. 각 항으로 n을 나눌 때 몫도 증가한다. 17을 12, 5, 2로 나눈 몫은 1, 3, 8이므로, 몫이 증가한 양 k, ℓ은 2, 5다.
이 숫자들을 Q=ℓh−kh′로 묶으면 작은 예에서는 Q=5×7−2×3=29가 된다. 더 중요한 것은 어떤 유효한 네 항에서도 Q가 양의 정수라는 점이다. 원고에서는 다음 항등식으로 이를 보인다.
Qz = khh′ + (k−1)(h′)² + hh″ > 0
17의 예에서도 왼쪽은 29×2=58이고 오른쪽은 2×7×3+1×3²+7×1=58이다. 이 작은 사례는 네 항에 관한 항등식을 눈으로 확인하게 해준다. 실제 상한 계산에서는 네 항 모두가 같은 가운데 크기 묶음에 들어 있는 경우를 세고, 그 묶음에 항이 아주 많다면 k, ℓ, Q가 가질 수 있는 값을 별도 부등식으로 제한한다. 17의 예가 그 가운데 묶음의 조건까지 만족한다는 뜻은 아니다.
사슬의 길이를 약수 개수로 연결하기
n, k, ℓ, Q를 고정하고 네 항의 첫 몫에 1을 더한 값을 b라 하자. 원고의 소거식은 b에 따라 커지는 이차식 D(b)가 고정된 정수 M의 약수여야 한다는 조건 D(b) | M을 만든다. 이때
D(b)=kb²+[k(k−1)+ℓ]b−k²,M=k²(k³n²−[k(k−1)+ℓ]Qn−Q²).
같은 사슬에서 네 항을 다음 위치로 옮기면 몫 b는 커지고, 따라서 D(b)도 달라진다. 가운데 묶음에서 필요한 조건을 만족할 때는 M이 0이 아닌 양의 정수임을 따로 증명한다. 그러면 고정된 k, ℓ, Q에 해당하는 네 항은 같은 M의 서로 다른 약수에 연결된다. 가능한 b를 하나씩 확인하는 문제를, 한 정수의 약수가 몇 개인지 세는 문제로 바꾼 것이다. 앞의 17 예에서는 D(2)=18이고 M=−7920이어서 18이 M을 나누지만, M은 양수가 아니다. 따라서 이 예는 약수 조건을 보여 줄 뿐, 가운데 묶음의 추가 조건을 증명하는 사례는 아니다.
원고에서 다루는 큰 n의 경우(n≥10^10), 조건에 맞는 가운데 크기 묶음의 항 수를 T(A)라 하면 이 약수 계산과 짧게 떨어지는 네 항의 개수로 T(A) ≲ n^(1/3−δ)+n^(9δ+ε)를 얻는다. 여기서 0<δ≤1/30은 가운데 묶음의 범위를 조절한다. δ=1/30을 택하면 1/3−δ와 9δ가 모두 3/10이 된다. 두 번째 항의 ε는 그대로 남는다. 작은·큰 나머지 묶음의 상한을 더하고 묶음 수에서 생기는 로그 항까지 ε 여유로 흡수하면 전체 사슬 상한으로 이어진다. 그보다 작은 n은 별도의 단순 상한으로 처리한다.
계산으로 확인한 부분, 검토가 필요한 부분
공개 자료에는 원고와 방법 부록, 정수 연산 검증 코드가 있다. 기록된 실행은 네 항 구간 616,052건에서 항등식 등을 점검하고 잘못 만든 입력 네 건을 예상대로 거부했다. 616,052는 서로 다른 사슬의 수가 아니다. 또 표본에서 증명의 핵심인 조밀한 가운데 묶음의 조건을 모두 만족하는 묶음은 없었다. 따라서 코드는 유한한 식과 구현을 점검한 것이지, 모든 n에 관한 정리를 입증한 도구는 아니다.
이 결과는 현재 외부 동료심사나 증명 보조기를 통한 형식 검증을 거치지 않은 프리프린트다. 수학적 유도와 내부 검토에는 AI 도움을 받았으며, 선행 연구 검색도 전수 조사는 아니었다. 독립적인 수학 검토에서 오류나 관련 선행 결과가 확인되면 공개 기록에 반영하겠다.
원문: An Improved Upper Bound for the Length of Pierce Remainder Chains · 앞선 상한: Chase–Pandey, On the length of Pierce expansions