모형에 무엇을 넣었고 어떤 반응이 나왔는지 알아도, 내부에서 오가는 속도를 하나씩 알아낼 수 없는 경우가 있다. 서로 다른 속도값들이 정확히 같은 입출력 관계를 만들기 때문이다. 이번 작업에서는 중심 구획 하나에 여러 주변 구획이 연결된 mammillary 모형에서, 이처럼 구별되지 않는 값들을 하나의 곡선으로 직접 나타냈다.
나는 Clemens·Martinez·Shiu·Thompson·Warren의 논문에 있는 추측 3.18을 골라 연구 방향을 정하고 검증을 요청했다. 질문은 모형 전체가 비식별적이라는 데서 끝나지 않았다. 추측에 이름이 적힌 각 매개변수가 정말로 서로 다른 무한히 많은 값을 가질 수 있는지 보여야 했다. 공개 원고에서는 구획 수 n이 5 이상인 모든 경우에 대해 이를 증명하고, 같은 입출력 식을 만드는 국소적인 매개변수 집합이 1차원 곡선임을 제시했다.
무엇을 넣고, 어디서 관찰하는 모형인가
구획은 모형에서 물질의 양을 따로 세는 공간이다. 여기서는 1번 구획이 중심이고, 2번부터 n번까지의 주변 구획이 각각 중심과 양방향으로 연결된다. 주변 구획끼리 직접 연결되지는 않으며, 모형 밖으로 빠져나가는 누출도 없다. 입력은 2번 구획에만 주고, 관찰값은 3번 구획의 양으로 정한다.
주변 i번에서 중심으로 가는 속도를 a_i = k_1i, 중심에서 주변으로 가는 속도를 b_i = k_i1이라고 쓰면 매개변수는 모두 2n − 2개다. 선행 논문의 추측 3.18이 묻는 대상은 이들 중 a_2, a_3, b_2, b_3, …, b_n, 즉 n + 1개다. 나머지 a_4, …, a_n은 선행 논문의 명제 3.16에서 이미 다룬 매개변수이며, 이번 곡선에서는 고정한다.
비식별성은 측정 장비의 오차 때문에 값이 흔들린다는 뜻이 아니다. 같은 입출력 방정식의 계수를 만드는 매개변수들을 모은 집합을 fibre라고 부른다. 선행 논문의 정의는 일반적인 실수 기준점에서 각 매개변수의 가능한 값이 유한한지를 묻는데, 이번 구성에서는 기준점 가까이에도 무한히 많은 값이 남는다. 그 집합 안에 연속적으로 움직일 수 있는 길을 만드는 것이다.
같은 입출력 비율보다 강하게, 원래 두 다항식을 고정했다
입출력 관계를 정리하면 분자와 분모가 있는 전달함수가 나온다. s를 미분 연산자에 대응하는 기호로 쓰면, 초기 상태가 0일 때의 전달함수는 다음과 같다.
H(s) = qQ(s) / [sW(s)]
여기서 q = a_2 b_3이고, Q는 4번 이후 주변 구획의 속도로 만드는 다항식이다. W에는 모든 주변 구획과 중심 사이의 속도가 들어간다.
P(s) = ∏(s + a_i) [i = 2,…,n]
W(s) = P(s) + ∑ b_i ∏(s + a_j) [i = 2,…,n; j ≠ i]
Q(s) = ∏(s + a_i) [i = 4,…,n]
q = a_2 b_3W의 합 안에서 j도 2부터 n까지 움직인다. 모형의 행렬 A로 계산하면 분모는 행렬식 det(sI − A) = sW(s), 분자는 입력과 출력 위치에 대응하는 부호 있는 여인수 qQ(s)가 된다. 원래 입출력 방정식은 sW(s)y = qQ(s)u이므로, W와 Q와 q를 각각 고정하면 약분 전 방정식의 계수까지 보존할 수 있다. 여기서 u는 입력, y는 관찰값이다.
이렇게 다항식을 따로 고정하는 이유는 분자와 분모를 약분해 같은 비율만 얻는 것과, 선행 논문이 정의한 원래 계수 사상을 보존하는 것을 구분하기 위해서다. 증명은 후자를 직접 다룬다. 이 입출력 미분방정식의 항등식은 전달함수를 설명할 때 쓴 초기 상태 0이라는 가정에만 의존하지 않는다.
하나의 값을 움직이면 나머지를 다시 정할 수 있다
모든 속도가 0이 아니고, a_2, …, a_n이 서로 다른 기준점에서 시작한다. 이 조건에서 제외되는 매개변수 집합은 실수 공간에서 측도 0이며, 선행 논문이 쓰는 실수 매개변수의 일반적인 경우를 다룰 수 있다.
기준점의 W, Q, q를 고정한 뒤 a₃를 새로운 변수 v로 움직인다. a₂는 독립적으로 고르는 대신 다음 식으로 정한다.
D(v) = qQ(−v) − W(−v)
T(v) = qvQ(−v) / D(v)
a_2(v) = T(v), a_3(v) = va_4, …, a_n은 기준값을 유지한다. 이어 주변으로 나가는 각각의 속도는 다음 식으로 복원한다.
b_i(v) = W(−a_i(v)) / ∏[a_j(v) − a_i(v)]
곱은 j = 2부터 n까지에서 j ≠ i인 항에 대해 취한다. 이 식은 서로 다른 지점에서의 다항식 값을 이용하는 보간식이다. 값을 이렇게 복원하면 W가 그대로 유지되고, T를 정한 식 덕분에 a_2(v)b_3(v) = q도 성립한다. 고정된 나머지 a값들은 Q를 유지한다.
분모들은 기준점에서 0이 아니므로 v를 충분히 가까운 범위에서 움직일 수 있다. 그 범위 안에서 매개변수는 바뀌어도 원래 입출력 방정식은 그대로다. 각 좌표가 다항식의 비로 표현되기 때문에 이 곡선을 유리 곡선이라고 부른다.
곡선이 있다는 것에서, 각 값이 변한다는 것까지
곡선 하나를 찾았다고 모든 매개변수가 그 위에서 변하는 것은 아니다. 일부 좌표는 같은 값을 유지할 수 있다. 따라서 a₂·a₃와 각각의 b값이 모두 상수가 아님을 별도로 보여야 추측의 n + 1개 매개변수를 빠짐없이 다룰 수 있다.
공개 증명은 각 좌표가 유리함수라는 점을 이용한다. 유리함수가 어떤 열린 구간에서 같은 값을 유지한다면, 분모를 곱한 다항식도 그 구간 전체에서 0이 되어야 하므로 항등적으로 상수가 된다. 반대로 유리함수 전체가 상수가 아님을 보이면, 기준점 가까이의 아무 작은 열린 구간에서도 그 좌표는 무한히 많은 값을 갖는다. 이 논증을 매개변수마다 적용했다.
예를 들어 n = 5에서 (a_2, a_3, a_4, a_5) = (1, 2, 3, 4), 모든 b값을 1로 두면 Q(s) = (s + 3)(s + 4), q = 1이고 W(s) = s⁴ + 14s³ + 65s² + 120s + 74가 된다. v = 2에서 움직이는 여섯 좌표 (a_2, a_3, b_2, b_3, b_4, b_5)의 변화율은 순서대로 (3/4, 1, −25/8, −3/4, 11/8, 3/4)이다.
한 지점의 변화율만 검사하는 방식은 충분하지 않다. 같은 예에서 b₂만 5/2로 바꾸면 그 지점의 a₂와 b₃ 변화율은 0이지만, 두 좌표 함수는 여전히 상수가 아니다. 증명을 한 점의 기울기나 수치적인 행렬 순위에 기대지 않은 이유다.
기준점의 모든 속도가 양수라면 곡선을 충분히 짧게 잡아 그 위의 속도도 모두 양수로 유지할 수 있다. 이 양수 결과는 원래의 실수 매개변수 정리에서 별도로 얻었다. 또한 나머지 a값의 국소적인 번호를 고정하면, 같은 계수를 만드는 가까운 매개변수 전체가 바로 이 곡선이며 계수 사상의 미분 행렬 순위는 2n − 3이다. 속도가 0이거나 a값이 겹치는 예외적인 경우는 이 정리의 범위 밖에 둔다.
증명과 계산을 나눠 재현 자료에 담았다
모든 n ≥ 5에 대한 결론은 보간과 유리함수의 비상수성에 관한 일반 증명에서 나온다. 계산은 그 식을 별도로 점검하는 역할을 맡았다. 공개 검증 기록에는 여섯 예제에서 b값을 복원하는 보간 항등식 30개와 비상수 좌표 함수 42개, 양수성이 유지되는 네 구간의 정확한 검사가 있다. 양수 예제뿐 아니라 부호가 섞인 경우, W(0) = 0인 경우, 한 지점에서 기울기가 0인 경우도 포함했다.
생성기는 SymPy를 사용하고, 별도 검증기는 표준 라이브러리의 유리수 다항식 계산으로 식 전체를 확인한다. 행렬식과 여인수를 직접 계산하는 검사는 24개 매개변수 벡터에서 168개의 ‘벡터와 s값’ 조합을 비교했으며, 다항식 차수의 상한을 이용해 각 벡터에서의 항등식을 확인했다. 모든 속도를 기호로 둔 n = 3·4·5·6·7의 검사와, 일부러 훼손한 증명서 8개를 거부한 결과도 함께 공개했다. 이 유한한 검사들이 일반 증명을 대신하는 구조는 아니다.
공개 원고와 코드는 2026년 9월 5일 Zenodo에 올렸고, 같은 날 Bulletin of Mathematical Biology의 투고 접수를 확인했다. 공개본은 동료심사 전 프리프린트다. 문제 선택과 연구 방향·검증 요청은 내가 맡았으며, 수학적 유도와 증명 작성·코드·내부 검사에는 ChatGPT의 도움을 받았다. Codex의 코드 검토와 재생성 결과도 공개 패키지의 기여 기록에 남겼다.
이 모형에서 드러난 모호함은 주변 구획의 번호를 몇 가지 방식으로 바꿀 수 있다는 정도가 아니다. 번호를 고정한 채로도 기준점 가까이에서 n + 1개의 속도값을 계속 바꾸면서 같은 입출력 방정식을 유지할 수 있다. 관찰된 관계에서 어떤 내부 값을 구별할 수 없는지, 그 방향을 식으로 직접 따라갈 수 있게 된 것이 이번 구성의 핵심이다.