수열의 앞부분에서 식이 잘 맞는다고 해서 뒤의 모든 항에서도 성립하는 것은 아니다. 반대로 식 자체가 맞더라도 너무 이른 항부터 적용하면 틀린 값이 나올 수 있다. OEIS A026771에서는 아홉 항을 연결하는 점화식을 대상으로, 식의 정확성과 시작 범위를 함께 확인했다.
나는 Richard J. Mathar가 2026년 6월 30일 올린 점화식을 연구 대상으로 골라 검증을 요청했다. 계수를 새로 맞춰 다른 식을 찾는 대신, 제시된 아홉 다항식을 그대로 두고 그 식이 성립하는 이유를 명시적인 인증서로 정리했다. 여기서 인증서는 몇몇 숫자가 일치했다는 기록이 아니라, 정수 다항식 계산으로 끝까지 확인할 수 있는 항등식이다.
아홉 항을 연결하는 식
OEIS는 정수 수열의 정의와 알려진 성질을 모아 둔 자료집이다. A026771은 삼각형 모양으로 배열된 수 T에서 a(n) = T(2n, n−1)을 읽어 만드는 수열이며, 첫 여덟 항은 다음과 같다.
1, 6, 31, 156, 784, 3962, 20173, 103522
삼각형의 양쪽 경계는 1이고 T(2, 1) = 2다. 내부에서는 바로 앞 행의 두 값을 더하되, 2K ≤ N−1인 위치에는 두 행 전의 값 T(N−2, K−1)도 더한다. 이 삼각형은 가로·세로 한 칸 이동과 제한된 대각선 이동으로 만드는 경로 수와 연결된다.
검증 대상인 점화식은 다음 형태다.
p_0(n)a(n) + p_1(n)a(n−1) + … + p_8(n)a(n−8) = 0
현재 항부터 여덟 칸 전의 항까지 아홉 개를 사용하므로 ‘시차 8’ 또는 ‘8차 점화식’이라고 부른다. 각 p는 n의 다항식이다. 예를 들어 현재 항의 계수는 p_0(n) = n(272n+4163)(n+2)(n+1)이다. 이 계수는 양의 정수 n에서 0이 되지 않아, 충분한 초기값과 앞선 항들이 있으면 다음 항을 계산할 수 있다. 아홉 계수 전체는 공개 원고의 부록과 coefficients/polynomials.json에 원래 값 그대로 담았다.
이미 알려진 생성함수에서 시작했다
생성함수는 수열의 항을 F(z) = a(1)z + a(2)z² + …처럼 한 식의 계수로 모아 놓은 것이다. 항마다 따로 점화식을 대입하는 문제를, 이 식 하나에 미분과 곱셈을 적용하는 문제로 옮길 수 있다.
출발점인 F = zGS²는 Alekseyev의 기존 결과다. 그의 2018년 논문은 경로 수를 세는 방법과 이 수열의 생성함수를 이미 제시했다. 여기에 쓰이는 세 급수는 다음 조건으로 정해진다.
C = 1 + zC²
S = 1 + zS + zS²
G = 1 / [1 − z(C + S)]
C(0) = S(0) = G(0) = 1C와 S를 풀면 각각 √(1−4z), √(1−6z+z²)가 나타난다. 두 제곱근 모두 상수항이 1인 쪽을 택해야 원래 수열을 얻는다. 공개 인증서는 이 부호 선택을 포함해 생성함수를 정리하고, 두 제곱근의 곱까지 포함한 네 성분으로 나눈다.
다음으로 θ = z d/dz를 쓰면 θ는 zⁿ의 계수에 n을 곱하는 역할을 한다. 따라서 점화식은 다음 연산자로 옮겨진다.
L = ∑ z^j p_j(θ+j), j = 0,…,8
먼저 p_j(θ+j)를 적용하고 그 뒤 zʲ을 곱한다. +j를 넣는 이유는 a(n−j)에 곱해져야 하는 계수가 p_j(n)이기 때문이다. 이 순서나 이동량을 바꾸면 같은 점화식을 검사하는 것이 아니게 된다. 점화식의 시차는 8이지만, 이 미분 연산자의 최고 차수는 4다.
0으로 없애면 안 되는 경계항
연산자 L을 F에 적용한 결과는 0이 아니라 다음 다항식 R이다.
R(z) = 26610z − 16056z² − 924132z³
+ 1887552z⁴ − 685782z⁵ + 433512z⁶
L F = R이 남는 식이 시작 범위를 결정한다. 왼쪽의 zⁿ 계수는 바로 점화식의 왼쪽 값이고, R은 6차이므로 n ≥ 7에서는 그 계수가 0이다. 하지만 n = 6에서는 433512가 남아 식이 성립하지 않는다.
| 적용 방식 | 성립하는 범위와 조건 |
|---|---|
| n ≤ 0의 a(n)을 0으로 확장 | n ≥ 7 |
| 아홉 항 모두 원래의 양수 인덱스 사용 | n ≥ 9 |
| n = 8을 별도로 사용 | 마지막 계수 p₈(8) = 0인 항을 빼면 성립 |
첫 여덟 양수 항으로 n = 9부터 계산할 수 있고, 0 확장을 사용하면 첫 여섯 양수 항으로 n = 7부터 계산할 수 있다. 이는 각각 충분한 초기값이라는 뜻이며 최소 개수라는 주장은 아니다.
인증서는 제곱근이 들어간 네 성분을 다항식 항등식 네 개로 바꿔 검사한다. 그중 세 성분은 정확히 0이 되고, 나머지가 R을 만든다. 약분 전 다항식의 최고 차수는 각각 9·13·16·20이며, 일부 점에 수치를 넣는 방식이 아니라 모든 정수 계수를 전개해 일치하는지 확인했다. 경계 다항식을 버리지 않아야 올바른 시작점까지 같은 증명으로 설명할 수 있다.
재현 자료와 외부 반영
공개 원고와 계산 자료는 2026년 9월 5일 Zenodo에 올렸다. 공개 기록에는 삼각형 513행의 131,841개 원소, a(0)부터 a(256)까지 257개 항을 다섯 계산 경로로 비교한 결과가 있다. 그 다섯 경로는 원래 삼각형, 제곱근 급수 전개, n = 7과 n = 9에서 각각 시작하는 점화식, 생성함수의 급수 곱셈이다. n = 7부터 256까지 250개 점화식 인덱스와 OEIS의 초기 22항, 경로 격자 1,089개 정점도 확인했으며, 일부러 훼손한 인증서 8개를 모두 거부했다. 이 비교들은 일반 증명과 구현이 맞물리는지 확인하는 보조 검사다.
Python 3.10 이상에서 python3 code/check_independent.py로 표준 라이브러리 검증기를 실행할 수 있다. 전체 자료를 다시 만드는 reproduce.py에는 SymPy 1.14.0과 새 출력 폴더를 사용한다. 대상 선택·연구 방향·검증 요청은 내가 맡았고, 수학적 유도·코드·내부 검사에는 ChatGPT의 도움을 받았다. Codex의 재실행과 공개 패키지 준비도 기여 기록에 남겼다.
현재 OEIS 변경 이력에는 2026년 9월 5일 Mathar가 내 이름과 이 인증서의 DOI 링크를 추가하고, 점화식 앞의 ‘Conjecture’ 표시를 삭제한 기록이 있다. 반영 상태도 approved로 바뀌었다. 한편 Mathar는 A026124와 이 점화식을 기존의 일반적인 방법으로 얻을 수 있는 결과로 평가했다. 알려진 생성함수와 방법의 귀속을 유지하면서, 이번 자료에서는 특정한 아홉 계수와 그 경계항을 다시 확인할 수 있게 만드는 데 초점을 맞췄다.
이 점화식을 사용할 때 중요한 것은 ‘8차’라는 이름만이 아니다. 어떤 초기값을 주는지, 0번 이하의 항을 어떻게 정의하는지, 식이 어느 인덱스부터 맞는지를 함께 알아야 한다. 남는 다항식 R을 그대로 보존했기 때문에, 식을 쓰기 시작할 위치도 인증서 안에서 확인할 수 있다.